Question

在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若c-a等于AC边上的高h，则sin

C-A

2

+cos

C+A

2

的值是（　　）

• A．1
• B．

  1

  2

• C．

  1

  3

• D．-1

Answer 1

分析：由AC边上的高为c-a，由AC=b，表示出三角形的面积，再由a，c及sinB，利用三角形的面积公式表示出面积，两者相等列出关系式，利用正弦定理化简后，根据sinB不为0，得到sinA-sinC=sinAsinC，左边利用和差化积公式变形，右边利用积化和差公式变形，表示出2cos

C+A

2

sin

C-A

2

，将所求式子平方并利用完全平方公式展开，第一、三项利用二倍角的余弦函数公式化简，将表示出的2cos

C+A

2

sin

C-A

2

代入，求出值，再由c-a大于0，得到C大于A，可得出

C-A

2

的范围，进而确定出sin

C-A

2

大于0，由三角形内角和定理得到

C+A

2

=90°-

B

2

，得出

C+A

2

的范围，进而确定出cos

C+A

2

大于0，可得出所求式子大于0，开方即可求出值．

解答：解：∵S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

b（c-a），
∴acsinB=b（a-c），
利用正弦定理化简得：sinAsinBsinC=sinB（sinA-sinC），
∵sinB≠0，
∴sinA-sinC=sinAsinC，
∴2cos

C+A

2

sin

C-A

2

=

1

2

[cos（A-C）-cos（A+C）]，
又cos（A-C）=1-2sin²

A-C

2

，cos（A+C）=2cos²

A+C

2

-1，
∴（sin

C-A

2

+cos

C+A

2

）²=sin²

A-C

2

+2sin

C-A

2

+cos

C+A

2

+cos²

A+C

2

=

1

2

[1-cos（C-A）]+

1

2

[cos（C-A）-cos（A+C）]+

1

2

[1+cos（C+A）]=1，
∵c-a＞0，∴C＞A，
∴0＜

C-A

2

＜90°，
∴sin

C-A

2

＞0，
又

C+A

2

=90°-

B

2

，且0＜90°-

B

2

＜90°，
∴cos

C+A

2

＞0，
∴sin

C-A

2

+cos

C+A

2

＞0，
则sin

C-A

2

+cos

C+A

2

=1．
故选A

点评：此题考查了三角形的和差化积公式，二倍角的余弦函数公式，正弦定理，三角形的面积公式，以及完全平方公式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．