Question

当0≤x≤

1

2

时，|ax-2x3|≤

1

2

恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由题意当0≤x≤

1

2

时，|ax-2x3|≤

1

2

恒成立，可得-

1

2

≤ax-2x³≤

1

2

，化为两个恒成立问题，从而求解．

解答：解：∵当0≤x≤

1

2

时，|ax-2x3|≤

1

2

恒成立，
∴-

1

2

≤ax-2x³≤

1

2

，
∴ax-2x³+

1

2

≥0和ax-2x³-

1

2

≤0，在[0，

1

2

]上恒成立；
∴

a≥2x2- 1 2x a≤2x2+ 1 2x

，下求出2x²-

1

2x

的最大值和2x²+

1

2x

的最小值，
∵0≤x≤

1

2

，∵2x²-

1

2x

在0≤x≤

1

2

上增函数，∴2x²-

1

2x

≤2×

1

4

-1=-

1

2

，
∴a≥-

1

2

；
∵0≤x≤

1

2

，∵2x²+

1

2x

≥2×

1

4

+1=

3

2

，∴a≤

3

2

，
∴-

1

2

≤a≤

3

2

，
故答案为：-

1

2

≤a≤

3

2

．

点评：此题考查绝对值不等式的性质及函数的恒成立问题，这类题目是高考的热点，难度不是很大，要注意函数的增减性．