Question

已知函数f(x)=

x2+4x x≥0 4x-x2 x＜0

（1）判断函数f（x）奇偶性与单调性，并说明理由；
（2）若f（2-a²）＞f（a），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）要判断函数f（x）奇偶性，关键是要判断f（-x）与f（x）的关系，我们可以根据分段函数分段处理的办法，分x＞0，x=0，x＜0三种情况讨论，而要判断函数f（x）的单调性，我们可以利用导数法判断函数在区间[0，+∞）上的单调性，进而根据奇函数在对称区间上单调性相同，得到结论．
（2）由（1）的结论，我们根据单调性的定义，可将不等式化为关于a的整式不等式，进而求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）函数为f（x）奇函数
∵函数f(x)=

x2+4x x≥0 4x-x2 x＜0

当x＞0时，-x＜0
∴f（-x）=4（-x）-（-x）²=-（x²+4x）=-f（x）
当x=0时，-x=0
∴f（-x）=0=-f（x）
当x＜0时，-x＞0
∴f（-x）=（-x）²+4（-x）-=-（4x-x²）=-f（x）
故f（-x）=-f（x）恒成立
故函数为f（x）奇函数
在区间[0，+∞）上，f'（x）=2x+4＞0恒成立
故f（x）在区间[0，+∞）上单调递增
又由奇函数的性质，我们易得函数是定义在R上的单调增函数
（2）由函数f(x)=

x2+4x x≥0 4x-x2 x＜0

是定义在R上的单调增函数
故f（2-a²）＞f（a），
可化为2-a²＞a
解得：-2＜a＜1

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性、单调性的判断及单调性的应用，而分段函数分段处理，是解答本题的关键．