题目内容
【题目】已知
，函数
（
是自然对数的底数）.
（1）若
有最小值，求
的取值范围，并求出的最小值；
（2）若对任意实数
，不等式
恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
的取值范围是
，此时
的最小值为
.
（2）
.
【解析】
（1）导函数为
,对a分类讨论，明确函数的单调性，从而得到函数的最值；（2）设
.由
恒成立，即
恒成立，研究函数
单调性，求其最小值即可.
（1）
，其导函数为
①当
时，对
有
，在
上是函数，没有最小值；
②当
时，由
得
.当
时，
，在区间
上是减函数，当
时，，在区间
上是增函数.所以的最小值为
，所以的取值范围是，此时的最小值为
.
（2）设.
由恒成立，即恒成立
①当，则当
时，
，而
，不可能有恒成立；
②当，
，设
，则
在
上增函数
又
，所以在
上，
，是减函数，在区间上，
，是增函数，最小值为
.
所以恒成立
综上所述，实数的取值范围是
.
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