Question

（2011•闵行区三模）已知椭圆

x2

4

+y2=1中心为O，右顶点为M，过定点D（t，0）（t≠±2）作直线l交椭圆于A、B两点．
（1）若直线l与x轴垂直，求三角形OAB面积的最大值；
（2）若t=

6

5

，直线l的斜率为1，求证：∠AMB=90°；
（3）在x轴上，是否存在一点E，使直线AE和BE的斜率的乘积为非零常数？若存在，求出点E的坐标和这个常数；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）当直线l与x轴垂直，可知A，B点的横坐标都为t，把x=t代入椭圆方程，即可求出，纵坐标，再利用面积公式，就可把三角形OAB的面积用含t的式子表示，再用均值不等式求出最大值即可．
（2）当t=

6

5

，直线l的斜率为1时，可得直线l的方程，与椭圆方程联立，求出A，B点的横坐标之和与之积，再通过判断直线MA，MB斜率之积是否等于-1，来证明直线MA，MB垂直，：∠AMB=90°．
（3）先假设在x轴上，存在一点E，使直线AE和BE的斜率的乘积为非零常数．设直线方程为：y=k（x-t），
与椭圆方程联立，求出x₁+x₂，x₁x₂，带着参数t计算直线AE和BE的斜率的乘积，看是否为非零常数，即可得到假设是否正确．

解答：解：（1）设直线l与椭圆的交点坐标为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
把x=t代入

x2

4

+y2=1可得：y=±

1

2

4-t2

，
则S△OAB=|OD|•|AD|=

1

2

•|t|•

4-t2

≤1，当且仅当t=±

2

时取等号    
（2）由

y=x- 6 5 x2 4 +y2=1

得125x²-240x+44=0，x1x2=

44

125

，x1+x2=

48

25

所以 kAMkBM=

y1y2

(x1-2)(x2-2)

=

(x1- 6 5 )(x2- 6 5 )

(x1-2)(x2-2)

=

x1x2- 6 5 (x1+x2)+ 36 25

x1x2-2(x1+x2)+4

=

44 125 - 6 5 • 48 25 + 36 25

44 125 -2• 48 5 +4

=

-64

64

=-1⇒∠AMB=90°         
（3）当直线l与x轴不垂直时，可设直线方程为：y=k（x-t），
由

y=k(x-t) x2 4 +y2=1

消去y整理得（4k²+1）x²-8k²tx+4k²t²-4=0
则

△＞0 x1+x2= 8k2t 4k2+1 x1x2= 4k2t2-4 4k2+1

①又 

y1=k(x1-t) y2=k(x2-t)

②
若存在定点E（m，0）符合题意，且k_AE×k_BE=s（s为非零常数），则kAEkBE=

y1y2

(x1-m)(x2-m)

=

k2(x1x2-t(x1+x2)+t2)

x1x2-m(x1+x2)+m2

=s
把①、②式代入上式整理得k²[4s（t-m）²-（t²-4）]+s（m²-4）=0（其中m、t、s都是常数）
要使得上式对变量k（k≠0）恒成立，当且仅当

4s(t-m)2-(t2-4)=0 s(m2-4)=0(s≠0)

，解得m=±2
当m=2时，定点E就是椭圆的右顶点（2，0），此时，s=

t+2

4(t-2)

；
当m=-2时，定点E就是椭圆的左顶点（-2，0），此时，s=

t-2

4(t+2)

；  
当直线l与x轴垂直时，由

x=t x2 4 +y2=1

，解得两交点坐标为A(t，

1

2

4-t2

)，B(t，-

1

2

4-t2

)，
可验证：kAEkBE=

t+2

4(t-2)

或

t-2

4(t+2)

所以，存在一点E（2，0）（或（-2，0）），使直线AE和BE的斜率的乘积为非零常数

t+2

4(t-2)

（或

t-2

4(t+2)

）．

点评：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的判断，属于常规题