题目内容

已知等差数列{a_n}为递增数列，满足 $数学公式$ ，在等比数列{b_n}中，b₃=a₂+2，b₄=a₃+5，b₅=a₄+13．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式b_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：数列{ $数学公式$ }是等比数列．

（Ⅰ）解：∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴a₃=5
设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，则
∵b₃=a₂+2，b₄=a₃+5，b₅=a₄+13，
∴ $\text{[math]}$ =（a₂+2）（a₄+13）
∴100=（7-d）（18+d）
∴d²+11d-26=0
∴d=2或d=-13（数列递增，舍去）
∴b₃=a₂+2=5，b₄=a₃+5=10，
∴q=2
∴b_n=b₃q^n-3=5•2^n-3；
（Ⅱ）证明：S_n= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴数列{ $\text{[math]}$ }是以 $\text{[math]}$ 为首项，2 为公比的等比数列．
分析：（Ⅰ）根据 $\text{[math]}$ ，利用等差数列的性质，可得a₃=5，利用b₃=a₂+2，b₄=a₃+5，b₅=a₄+13，可求等差数列{a_n}的公差，等比数列{b_n}的公比，从而可得数列{b_n}的通项公式b_n；
（Ⅱ）S_n= $\text{[math]}$ ，从而 $\text{[math]}$ ，利用等比数列的定义可得结论．
点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查等比数列的通项，等比数列关系的证明，确定公比是关键．