Question

(本小题满分13分)

已知定义在R上的函数(a，b，c，d为实常数)的图象关于原点对称，且当x＝1时f(x)取得极值.

（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；

（Ⅱ）证明：对任意∈[－1，1]，不等式成立；

（Ⅲ）若函数在区间(1，∞)内无零点，求实数m的取值范围.

Answer 1

（1）（2）见解析（3）(－∞，1]

解析:

（Ⅰ）因为f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数，所以f(0)＝0，即d＝0.（1分）

又，即，则b＝0.

所以，.                          （2分）

因为当x＝1时f(x)取得极值，则，且.

即，故.       （4分）

（Ⅱ）因为，则当－1≤x≤1时，.

所以f(x)在[－1，1]上是减函数.                                      （5分）

所以当x∈[－1，1]时，，.       （7分）

故当∈[－1，1]时，.             （8分）

（Ⅲ）因为，则，.    （9分）

由，得，即，即.

所以在区间上是增函数，在上是减函数，从而在处取极小值.                                                      （11分）

又，若函数在区间(1，∞)内无零点，则，

所以，即m≤1.

故实数m的取值范围是(－∞，1].