Question

已知f（x）=a^x-1-1，（a＞1）的反函数为f^-1（x）．
（1）若函数y=f-1(2x+

m

x

-4)在区间（m，+∞）上单增，求实数m的取值范围；
（2）若关于x的方程f^-1（x-1）•[f^-1（x-1）-p]=-2在（1，+∞）内有两个不相等的实数根，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求反函数，再将问题转化为u=2x+

m

x

-3在（m，+∞）上单增且恒正，从而可求实数m的取值范围；
（2）令t=log_ax，利用换元法将方程f^-1（x-1）•[f^-1（x-1）-p]=-2转化为t²+（2-p）t+3-p=0有两个不相等的正数根t₁，t₂，利用韦达定理可求实数p的取值范围．

解答：解：设y=a^x-1-1，（a＞1）
则a^x-1=y+1
∴x-1=log_a（y+1）
∴x=1+log_a（y+1）
∴f^-1（x）=1+log_a（x+1）
（1）y=f-1(2x+

m

x

-4)=1+loga(2x+

m

x

-3)，
因为a＞1，故题意等价于u=2x+

m

x

-3在（m，+∞）上单增且恒正，
故必有m＞0
于是u′=2-

m

x2

≥0，x∈(m，+∞)且x=m时，即2m+

m

m

-3≥0，
解得m∈[1，+∞）；
（2）方程f^-1（x-1）•[f^-1（x-1）-p]=-2即（1+log_ax）•（1-p+log_ax）=-2
令t=log_ax，因为a＞1，故当x∈（1，+∞）时，t＞0
∵x的方程f^-1（x-1）•[f^-1（x-1）-p]=-2在（1，+∞）内有两个不相等的实数根，
∴t²+（2-p）t+3-p=0有两个不相等的正数根t₁，t₂，
故

△=(2-p)2-4(3-p)＞0 t1+t2=p-2＞0 t1t2=-p＞0

∴2

2

＜p＜3
∴实数p的取值范围为(2

2

，3)

点评：本题以函数为载体，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，等价转化是关键．