Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点为F₁（1，0），离心率为

1

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程及左顶点P的坐标；
（Ⅱ）设过点F₁的直线交椭圆C于A，B两点，若△PAB的面积为

36

13

，求直线AB的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用椭圆的右焦点为F₁（1，0），离心率为

1

2

，建立方程，结合b²=a²-c²，即可求得椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线AB的方程代入椭圆方程，利用韦达定理面结合△PAB的面积为

36

13

，即可求直线AB的方程．

解答：解：（Ⅰ）由题意可知：c=1，

c

a

=

1

2

，所以a=2，所以b²=a²-c²=3．
所以椭圆C的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1，左顶点P的坐标是（-2，0）．…（4分）
（Ⅱ）根据题意可设直线AB的方程为x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

x2 4 + y2 3 =1 x=my+1

可得：（3m²+4）y²+6my-9=0．
所以△=36m²+36（3m²+4）＞0，y₁+y₂=-

6m

3m2+4

，y₁y₂=-

9

3m2+4

．…（7分）
所以△PAB的面积S=

1

2

|PF1||y2-y1|=

18 m2+1

3m2+4

．…（10分）
因为△PAB的面积为

36

13

，所以

18 m2+1

3m2+4

=

36

13

．
令t=

m2+1

，则

t

3t2+1

=

2

13

(t≥1)，解得t₁=

1

6

（舍），t₂=2．
所以m=±

3

．
所以直线AB的方程为x+

3

y-1=0或x-

3

y-1=0．…（13分）

点评：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，联立方程，利用韦达定理是解题的关键．