题目内容

设P是以F₁，F₂为焦点的双曲线 $数学公式$ 上的动点，则△F₁PF₂的重心的轨迹方程是________．

$\text{[math]}$
分析：设点P（m，n ），则 $\text{[math]}$ 设△PF₁F₂的重心G（x，y），则由三角形的重心坐标公式可得x= $\text{[math]}$ ，y= $\text{[math]}$ ，解出m、n的解析式代入①化简可得所求．
解答：由双曲线的方程可得 a=4，b=3，c=5，∴F₁（-5，0），F₂（5，0）．
设点P（m，n ），则 $\text{[math]}$ ①．设△PF₁F₂的重心G（x，y）（y≠0），则由三角形的重心坐标公式可得
x= $\text{[math]}$ ，y= $\text{[math]}$ ，即 m=3x，n=3y，代入①化简可得
$\text{[math]}$ ，故△PF₁F₂的重心G的轨迹方程是 $\text{[math]}$ ，
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查用代入法求点的轨迹方程的方法，三角形的重心坐标公式，找出点P（m，n ）与重心G（x，y）的坐标间的关系是解题的关键．