Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足csinA=acosC．
（I）求角C的大小；
（II）求的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）在△ABC中，利用正弦定理将csinA=acosC化为sinCsinA=sinAcosC，从而可求得角C的大小；
（II）利用两角和的余弦与辅助角公式可将sinA-cos（B+C）化为sinA-cos（B+C）=2sin（A+），从而可求取得最大值时角A，B的大小．
解答：解析：（I）由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC，
∵0＜A＜π，
∴sinA＞0，
∴sinC=cosC，又cosC≠0，
∴tanC=1，又C是三角形的内角
即∠C=…（4分）
（II）sinA-cos（B+C）=sinA-cos（π-A）
=sinA+cosA=2sin（A+）…（7分）
又0＜A＜，＜A+＜，
所以A+=即A=时，2sin（A+）取最大值2．      （10分）
综上所述，sinA-cos（B+C）的最大值为2，此时A=，B=…（12分）
点评：本题考查正弦定理，考查两角和的余弦与辅助角公式，考查求三角函数的最值，掌握三角函数的基本关系是化简的基础，属于中档题．