Question

【题目】已知定义域为R的函数是奇函数。

（1）求a的值.

（2）判断函数f（x）在R上的单调性并证明你的结论.

（3）求函数f（x）在R上的值域.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）单调递增，理由详见解析；（3）（－1，1）.

【解析】

（1）利用求出的值；（2）利用函数单调性的定义证明f（x）在R上的单调性；（3）利用不等式性质逐步推理得到函数函数f（x）在R上的值域.

（1）由题得，

所以.

经检验当时，函数f（-x）=-f（x），满足是奇函数，所以.

（2）f（x）在R上单调递增.

证明如下：在R上任取，设，则＝

又∵3x＞0，∴，，

∵单调递增

∴，∴，

∴f（x）在R上单调递增.

（3），

∵3x＋1＞1，

∴0＜

∴－2＜－，

∴f（x）∈（－1，1）.

所以函数f（x）在R上的值域为（－1，1）.