Question

若函数f(x)满足f(x+3)+f(x-3)=2x²-8x+8,f(x+3)-f(x-3)=4(x-2),且f(a-1),1,f(a+1)是一个递增的等差数列{a_n}的前三项.

(1)求数列{a_n}的通项公式;

(2)记T_n=(n＞1,n∈N^*),设g(n)=T_2n+1-T_n+1,试确定实数m的取值范围,使得对于一切大于1的自然数n,不等式g(n)＞［log_m(m-1)］²-恒成立.

Answer 1

解:(1)由得f(x-3)=x²-6x+8,从而f(x)=x²-1.   

∵f(a-1),1,f(a+1)是一个递增的等差数列{a_n}的前三项,

∴f(a-1)+f(a+1)=2,

即(a²-2a)+(a²+2a)=2.

解得a=-1或a=1.

若a=-1,则a₁=3,a₃=-1不合题意.                                               

若a=1,则a₁=-1,a₃=3.从而数列{a_n}的公差为d=2,

a_n=-1+(n-1)2=2n-3.                                                          

(2)∵T_n=(n＞1,n∈N^*),

∴g(n)=T_2n+1-T_n+1=.

又g(n+1)-g(n)=

∴g(n+1)＞g(n).∴g(n)是关于n的增函数.                                       

∴g(n)_min=g(2)=.

∴要使一切大于1的自然数n,不等式?g(n)＞［log_m(m-1)］²-恒成立,

只要＞［log_m(m-1)］²-成立即可.

由得m＞1且m≠2,

此时设［log_m(m-1)］²=t,则t＞0,                                               

于是解得0＜t＜1.

由此得0＜［log_m(m-1)］²＜1,

解得m＞且m≠2.