Question

已知函数f（x）=

9-x2

的定义域为集合A．
（1）若函数g（x）=log₂（x²-2x+3）的定义域也为集合A，g（x）的值域为B，求A∩B；
（2）已知C={x|

a+2

x-a+1

＞1}，若C⊆A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数定义域和值域的性质进行求解，然后利用集合的基本运算计算求A∩B；
（2）根据集合之间的关系建立不等式关系即可求出a的取值范围．

解答：解：（1）由9-x²≥0，得-3≤x≤3，
∴A=[-3，3]，
设u=x²-2x+3=（x-1）²+2，
当x∈A时，2≤u≤18，于是1≤g（x）≤log₂18，
即B=[1，log18]，
∵log₂18＞3，
∴A∩B=[1，3]．
（2））由

a+2

x-a+1

＞1，得

a+2

x-a+1

-1＞0，
即[x-（a-1）][x-（2a+1）]＜0．
当a=-2时，C=∅，满足C⊆A；
当a＞-2时，C=（a-1，2a+1），
∵C⊆A，
∴

a-1≥-3 2a+1≤3

，
解得-2≤a≤1，
又a＞-2，
∴-2＜a≤1；
当a＜-2时，C=（2a+1，a-1），
∵C⊆A，
∴

2a+1≥-3 a-1≤3

，
解得-2≤a≤4，
又a＜-2，
∴此时无解；
综上所述，实数a的取值范围是-2≤a≤1．

点评：本题主要考查函数定义域和值域的求法以及集合的基本运算，考查学生的计算能力．