题目内容
已知函数f(x)=2sinxcos(x+| π |
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的最大值与最小值；
（3）写出函数f（x）的单调递增区间．
分析：先根据两角和的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简cos（x+
），合并后再利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值把f（x）化为一个角的正弦函数，
（1）利用周期公式即可求出f（x）的最小正周期；
（2）根据正弦函数的值域即可求出f（x）的最大值和最小值；
（3）根据正弦函数的单调性即可求出f（x）的递增区间．
| π |
| 3 |
（1）利用周期公式即可求出f（x）的最小正周期；
（2）根据正弦函数的值域即可求出f（x）的最大值和最小值；
（3）根据正弦函数的单调性即可求出f（x）的递增区间．
解答：解：f(x)=2sinxcos(x+
)+
cos2x+
sin2x
=2sinx（cosxcos
-sinxsin
）+
cos2x+
sin2x
=sinxcosx-
sin2x+
cos2x+
sin2x
=sin2x+
cos2x
=2sin（2x+
），
（1）因为T=
=π，所以f（x）的最小正周期为π；
（2）由-1≤sin（2x+
）≤1，得到-2≤f（x）≤2，
则函数f（x）的最大值为2，最小值为-2；
（3）令2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，
解得：kπ-
≤x≤kπ+
，
则f（x）的单调递增区间为：[kπ-
，kπ+
]．
| π |
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
=2sinx（cosxcos
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
=sinxcosx-
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
=sin2x+
| 3 |
=2sin（2x+
| π |
| 3 |
（1）因为T=
| 2π |
| 2 |
（2）由-1≤sin（2x+
| π |
| 3 |
则函数f（x）的最大值为2，最小值为-2；
（3）令2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
解得：kπ-
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
则f（x）的单调递增区间为：[kπ-
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
点评：此题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值，以及正弦函数的单调性．利用三角函数的恒等变换把f（x）化为一个角的正弦函数是解本题的关键．
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