Question

设函数f（x）的定义域为R，若存在常数G＞0使|f(x)|≤

G

100

|x|对一切实数x均成立，则称函数f（x）为G函数．现给出下列函数：
①f(x)=

2x2

x2-x+1

；
②f（x）=x²sinx；
③f（x）=2x（1-3^x）；
④f（x）是定义在R的奇函数，且对一切x₁，x₂，恒有|f（x₁）+f（x₂）|≤100|x₁+x₂|．
则其中是G函数的序号为

①④

．

Answer 1

分析：①x≠0时，|

f(x)

x

|=|

2x

x2-x+1

|=|

2

x+ 1 x -1

|≤2=

G

100

；
②x≠0时，|

f(x)

x

|=|xsinx|，不存在常数G＞0，使得|f(x)|≤

G

100

|x|成立；
③x≠0时，|

f(x)

x

|=|2（1-3^x）|＜2，不存在常数G＞0，使得|f(x)|≤

G

100

|x|成立；
④当x₂=0，因|f（x₁）+f（x₂）|≤100|x₁+x₂|得到|f（x）|≤100|x|成立，这样的G存在
即可得到结论．

解答：解：①x≠0时，|

f(x)

x

|=|

2x

x2-x+1

|=|

2

x+ 1 x -1

|≤2=

G

100

，∴G=200，x=0也成立，故①为G函数；
②x≠0时，|

f(x)

x

|=|xsinx|，不存在常数G＞0，使得|f(x)|≤

G

100

|x|成立；
③x≠0时，|

f(x)

x

|=|2（1-3^x）|＜2，不存在常数G＞0，使得|f(x)|≤

G

100

|x|成立；
④当x₂=0，因|f（x₁）+f（x₂）|≤100|x₁+x₂|得到|f（x）|≤100|x|成立，这样的G存在，故④正确；
故答案为：①④

点评：本题考查函数的最值及其几何意义，考生需要有较强的分析问题解决问题的能力，对选支逐个加以分析变形，利用函数、不等式的进行检验，方可得出正确结论．