Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）定义在R上的奇函数，且x=-1时，函数取极值1．
（1）求a，b，c的值；
（2）若对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤s成立，求s的最小值．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）是定义R上的奇函数
∴b=0
∴f（x）=ax³+cx，∴f′（x）=3ax²+c
依题意有f′（-1）=0且f（-1）=1
即 ，解得，a=，c=-
∴f（x）=x³+-x
（2），
x∈（-1，1）时f′（x）＜0，
∴f（x）在x∈[-1，1]上是减函数，
即f（1）≤f（x）≤f（-1），
则|f（x）|≤1，?f_max（x）=1，f_min（x）=-1，
当x₁，x₂∈[-1，1]时，|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max|+|f（x）_min|≤1+1=2
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤s中s的最小值为2，
∴s的最小值2．
分析：（1）欲求f（x）的解析式，只需找到关于a，b，c的三个等式，求出a，b，c的值，根据函数的奇偶性可得到一个含a，b，c的等式，根据x=-1时，取得极值1，可知函数在x=-1时，导数等于0，且x=-1时，函数值等于1，又可得到两个含a，b，c的等式，三个等式联立，解出a，b，c即可．
（2）利用导数得到函数为减函数f（1）≤f（x）≤f（-1）得到|f（x）|≤1，从而得出f（x）的最大最小值，从而求出当|f（x₁）-f（x₂）|≤s成立时s的最小值．
点评：本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及绝对值不等式的性质．属于中档题．