Question

已知f（x）=x|x-a|-2
（1）当a=1时，解不等式

f(x)

x-3

＞0；
（2）当x∈[0，2]时，不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用绝对值的几何意义，将绝对值符合化去，解所得不等式即可；
（2）当x=0时，f（x）＜0恒成立．当x∈（0，2]时，x|x-a|-2＜0．即x|x-a|＜2．即x-

2

x

＜a＜x+

2

x

令g(x)=x-

2

x

，h(x)=x+

2

x

，x∈(0，2]，则有g（x）_max＜a＜h（x）_min，故可得出答案．

解答：解：（1）a=1时，

f(x)

x-3

＞0即

x|x-1|-2

x-3

＞0，
∴

x≥1 x(x-1)-2 x-3 ＞0

 或 

x＜1 x(1-x)-2 x-3 ＜0

∴1≤x＜2 或x＞3或x＜1
∴x∈（-∞，2）∪（3，+∞）
（2）当x=0时，f（x）＜0恒成立．
当x∈（0，2]时，x|x-a|-2＜0．即x|x-a|＜2．
∴x-

2

x

＜a＜x+

2

x

令g(x)=x-

2

x

，h(x)=x+

2

x

，x∈(0，2]
则有g（x）_max＜a＜h（x）_min．
而g(x)=x-

2

x

，x∈(0，2]单增，故g（x）_max=g（1）=1，
又h(x)=x+

2

x

≥2

2

，故h(x)min=2

2

所以a∈(1，2

2

)

点评：本题以函数为载体，考查解不等式，考查了函数恒成立问题，有一定的难度