Question

把正方形ABCD沿其对角线AC折成直二面角D-AC-B后，连接BD，得到如图所示的几何体，已知点D、E、F分别为线段AC、AD、BC的中点，
(1)求证：AB∥平面EOF；
(2)求二面角E-OF-B的大小．

Answer 1

(1)证明：∵点O、F分别为线段AC、BC的中点， ∴OF∥AB， ∵OF平面EOF，AB平面EOF， ∴AB∥平面EOF。
(2)解：∵二面角D-AC-B为直二面角，连接OD， ∵AD=DC，∴OD⊥AC， ∵平面ADC⊥平面ABC， ∴OD⊥平面ABC， 又AB=BC， ∴OB⊥AC， 于是可建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz， 由题可设OA=OB=OC=OD=2a， ∵点E、F分别为线段AD、BC的中点， ∴A(0，-2a，0)，B(2a，0，0)，C(0，2a，0)，D(0，0，2a)， E(0，-a，a)，F(a，a，0)， ∴， 设平面EOF的一个法向量为n1=(x，y，z)， 由得， 取x=-1，则， ∴n1=(-1，1，1)， 设平面OBF的一个法向量为n2=(0，0，1)， ， ∴二面角E-OF-B的大小为。