题目内容

用数学归纳法证明：当n为正整数时，13+23+33+…+n3=
n2(n+1)24
．
分析：用数学归纳法证明：（1）当n=1时，去证明等式成立；（2）假设当n=k时，等时成立，用上归纳假设后，去证明当n=k+1时，等式也成立即可．
解答：证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=
12×22
4
=1，
∴等式成立…2分
（2）假设当n=k时，等时成立，即13+23+33+…+k3=
k2(k+1)2
4
…4分
那么，当n=k+1时，有13+23+33+…+k3+（k+1）3=
k2(k+1)2
4
+（k+1）3…6分
=（k+1）2•（
k2
4
+k+1）
=（k+1）2•
k2+4k+4
4

=
(k+1)2(k+2)2
4

=
(k+1)2[(k+1)+1]2
4
…8分
这就是说，当n=k+1时，等式也成立…9分
根据（1）和（2），可知对n∈N*等式成立…10分
点评：本题考查数学归纳法，用好归纳假设是关键，考查逻辑推理与证明的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知m，n为正整数．
（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x＞-1时，（1+x）m≥1+mx；
（Ⅱ）对于n≥6，已知(1-
1
n+3
)n＜
1
2
，求证(1-
m
n+3
)n＜(
1
2
)m，m=1，2…，n；
（Ⅲ）求出满足等式3n+4n+5n+…+（n+2）n=（n+3）n的所有正整数n．
已知：函数f(x)=-
1
6
x3+
1
2
x2+x，x∈R．
（Ⅰ）求证：函数f（x）的图象关于点A(1，
4
3
)中心对称，并求f（-2007）+f（-2006）+…+f（0）+f（1）+…+f（2009）的值．
（Ⅱ）设g（x）=f′（x），an+1=g（an），n∈N+，且1＜a1＜2，求证：
（ⅰ）请用数学归纳法证明：当n≥2时，1＜an＜
3
2
；
（ⅱ）|a1-
2
|+|a2-
2
|+…+|an-
2
|＜2．
（理科做）设f(n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
，用数学归纳法证明：当n≥2，n∈N*时，n+f（1）+f（2）+…+f（n-1）=nf（n）．
用数学归纳法证明：当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除，第二步的假设应写成
假设n=2k-1，k∈N*时命题正确，即当n=2k-1，k∈N*时，x2k-1+y2k-1能被x+y整除
假设n=2k-1，k∈N*时命题正确，即当n=2k-1，k∈N*时，x2k-1+y2k-1能被x+y整除
．
用数学归纳法证明：当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除，第二步的假设应写成假设n=
2k-1
2k-1
，k∈N*时命题正确，再证明n=
2k+1
2k+1
，k∈N*时命题正确．

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