Question

已知函数f（x）=-sin²x+2asinx+5
（1）若x∈R，有1≤f（x）≤8，求a的取值范围；
（2）当f（x）=0有实数解时，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用t=sinx，换元，化简函数表达式，通过对于a讨论，利用函数的单调性与对称轴，结合1≤f（x）≤8，即可求a的取值范围；
（2）通过f（x）=0有实数解，对a讨论，利用函数的单调性以及零点判定定理分别求a的取值范围．

解答：解：（1）令t=sinx，则原函数变为y=f（t）=-t²+2at+5，t∈[-1，1]，其对称轴为t=a．
①a＞1时，函数在t∈[-1，1]上单调递增，所以函数值为[4-2a，4+2a]．因此有

4-2a≥1 4+2a≤8

⇒1＜a≤

3

2

．
②当-1≤a≤1时，有

f(1)≥1 f(a)≤8 f(-1)≥1

⇒-1≤a≤1．
③当a＜-1时，函数在t∈[-1，1]上单调减函数，有

4+2a≥1 4-2a≤8

，解得-

3

2

≤a＜-1，
综上-

3

2

≤a≤

3

2

．
（2）①a＞1时，函数在t∈[-1，1]上单调递增，所以函数值为[4-2a，4+2a]．因此有

4-2a≤0 4+2a≥0

⇒a≥2．
②当-1≤a≤1时，有

f(a)≥0 f(1)≤0或f(-1)≤0

，⇒a≥2或a≤-2，所以此时无解．
③当a＜-1时，函数在t∈[-1，1]上单调减函数，有

4+2a≤0 4-2a≥0

，解得a≤-2，
综上a≥2或a≤-2．

点评：本题考查复合函数的单调性以及换元法、零点判定定理，分类讨论思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．