Question

在等差数列{a_n}中，a₁=3，前n项和S_n满足条件

Sn+2

Sn

=

n+4

n

，n=1，2，3，…
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记bn=

1

Sn

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知，令n=1，可求d，代入等差数列的通项公式即可求解
（2）由（Ⅰ）可求等差数列{a_n}的前n项和，代入利用裂项相消法即可求解

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由

Sn+2

Sn

=

n+4

n

对一切正自然数n都成立可知，
当n=1时，得：

S3

S1

=

3a1+3d

a1

=5，又a₁=3，所以d=2，
所以a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（2）由（Ⅰ）知等差数列{a_n}的前n项和Sn=

n(3+2n+1)

2

=n（n+2）
∴bn=

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)

点评：本题主要考查了等差数列的求和公式、通项公式的应用，裂项相消法求解数列的和方法的应用是求解（2）的关键