题目内容

已知函数f （x）=（ $数学公式$ ）^x-log₂x，正实数a，b，c是公差为负数的等差数列，且满足f（a）f（b）f（c）＜0，若实数d是方程f （x）=0的一个解，那么下列四个判断：①d＜a；②d＞b；③d＜c；④d＞c．其中有可能成立的个数为

A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

B
分析：f （x）=（ $\text{[math]}$ ）^x-log₂x是由 $\text{[math]}$ 和y=-log₂x两个函数的复合函数，每个函数都是减函数，所以，复合函数f （x）=（ $\text{[math]}$ ）^x-log₂x为减函数．正实数a，b，c是公差为正数的等差数列，0＜a＜b＜c，f（a）f（b）f（c）＜0，则f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＜0，或者f（a）＞0，f（b）＞0，f（c）＜0，所以可能：①d＜a；③d＜c．
解答：f （x）=（ $\text{[math]}$ ）^x-log₂x是由 $\text{[math]}$ 和y=-log₂x两个函数的复合函数，
每个函数都是减函数，
所以，复合函数f （x）=（ $\text{[math]}$ ）^x-log₂x为减函数．
∵正实数a，b，c是公差为正数的等差数列，
∴0＜a＜b＜c，
∵f（a）f（b）f（c）＜0，
则f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＜0，
或者f（a）＞0，f（b）＞0，f（c）＜0，
综合以上两种可能，
恒有 f（c）＜0．
所以可能：①d＜a；③d＜c．
故选B．
点评：本题考查指数函数的图象和性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的单调性的灵活运用．