Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，BD=，∠ABD=90°，将它们沿对角线BD折起，折后的C变为C₁，且A、C₁间的距离为2．
（1）求证：平面A C₁D⊥平面ABD；
（2）求二面角B-AC₁-D的余弦值；
（3）E为线段A C₁上的一个动点，当线段EC₁的长为多少时？DE与平面BC₁D所成的角为30°．

Answer 1

【答案】分析：（1）由ABCD是平行四边形，知∠BDC₁=∠ABD=90°，故AB⊥BD，C₁D⊥BD，由此能够证明平面A C₁D⊥平面ABD．
（2）由AB⊥BD，AB⊥C₁D，知AB⊥平面BC₁D，以B为原点，以平行于DC₁的直线为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出二面角B-AC₁-D的余弦值．
（3）设，则==（1，0，0）+λ（-1，-，1）=（1-λ，-，λ），利用向量法能够推导出当E为AB的中点时，DE与平面BC₁D所成的角为30°．
解答：解：（1）∵ABCD是平行四边形，
∴∠BDC₁=∠ABD=90°，
∴AB⊥BD，C₁D⊥BD，
∴AD=BC₁=，
由C₁D=1，AC₁=2，得，
∴C₁D⊥AD，
∴C₁D⊥平面ABD，
∵C₁D?平面AC₁D，
∴平面A C₁D⊥平面ABD．
（2）∵AB⊥BD，AB⊥C₁D，
∴AB⊥平面BC₁D，
∴以B为原点，以平行于DC₁的直线为x轴，
以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，

则A（0，0，1），D（0，，0），，
∴，，
，，
设平面ABC₁的法向量为，
则，，
∴，解得=（-，1，0）．
设平面ADC₁的法向量，
则，，
∴，解得，
设二面角B-AC₁-D的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜＞|=||=．
（3）设，
则
=
=（1，0，0）+λ（-1，-，1）
=（1-λ，-，λ），
∵平面ABC⊥平面BCD，∴是平面BCD的一个法向量，
若DE与平面BC₁D所成的角为30°，
则，
∴，
∵=，
∴=，
整理，得1-2λ=0，解得．
故当E为AB的中点，即|C₁E|=1时，DE与平面BC₁D所成的角为30°．
点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点的位置的判断．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和向量法的合理运用．