Question

已知函数f（x）=

2

mcos²(x+

3

4

π)-

1

2

sin2x．
（1）若m=1，求函数f（x）的最值；
（2）若函数f（x）在区间[

π

4

，

π

2

]上的最小值等于2，求实数m的值．

Answer 1

分析：（1）当m=1时，f（x）=

2

cos²(x+

3

4

π)-

1

2

sin2x=

2

2

+

2 -1

2

sin2x，结合-1≤sin2x≤1可求
（2）利用二倍角公式、辅助角公式、诱导公式对函数化简f（x）=

2

cos²(x+

3

4

π)-

1

2

sin2x=

2 m

2

+

2 m-1

2

sin2x结合x的范围可求，sin2x的范围，结合

2

m- 1的正负可求函数取得最小值时的m

解答：解：（1）当m=1时，f（x）=

2

cos²(x+

3

4

π)-

1

2

sin2x
=

2

2

[1+cos(2x+

3π

2

)] -

1

2

sin2x
=

2

2

+

2 -1

2

sin2x
∵-1≤sin2x≤1
∴

1

2

≤f(x)≤

2

-

1

2

∴函数的最大值为

2

-

1

2

，最小值为

1

2

（2）∵f（x）=

2

cos²(x+

3

4

π)-

1

2

sin2x=

2 m

2

[1+cos(2x+

3π

2

)]-

1

2

sin2x
=

2 m

2

+

2 m-1

2

sin2x
∵

π

4

≤x≤

π

2

∴

π

2

≤2x≤π，0≤sin2x≤1
当m≥

2

2

时，由题意可得

2

2

m=2，则m=2

2

当m＜

2

2

时，由题意可得

2

m-

1

2

=2，此时m不存在
综上可得m=2

2

点评：本题主要考察了二倍角公式、辅助角公式及诱导公式在三角函数化简中的应用，正弦函数的性质的灵活应用是解答本题的关键