Question

设函数f（x）=x²-1，对任意x∈[3，+∞），f（

x

m

）-4m²f（x）≤f（x-1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是

(-∞，-

2

2

]∪[

2

2

，+∞)

．

Answer 1

分析：条件等价于

1

m2

-4m2≤-

3

x2

-

2

x

+1在[3，+∞）上恒成立，求出x=3时，-

3

x2

-

2

x

+1取得最小值0，可得

1

m2

-4m2≤0，从而可求实数m的取值范围．

解答：解：由题意，对任意x∈[3，+∞），（

x

m

）²-1-4m²•（x²-1）≤（x-1）²-1+4m²-4恒成立，
∴

1

m2

-4m2≤-

3

x2

-

2

x

+1在[3，+∞）上恒成立；
∵-

3

x2

-

2

x

+1=-3(

1

x

+

1

3

)2+

4

3

∴x=3时，-

3

x2

-

2

x

+1取得最小值0，
∴

1

m2

-4m2≤0
∴m2≥

1

2

∴m≤-

2

2

或m≥

2

2

故答案为：(-∞，-

2

2

]∪[

2

2

，+∞)

点评：本题考查恒成立问题，考查学生分析转化问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．