Question

15．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，（0＜x≤1）}\\{2x+\frac{3}{x}，（x＞1）}\end{array}\right.$，若函数g（x）=f（x）-kx+k的零点有2个，则k的取值范围1＜k≤2．

Answer 1

分析 函数g（x）=f（x）-kx+k的零点个数，即函数f（x）与h（x）=k（x-1）图象交点的个数，画出函数的图象，数形结合可得答案．

解答 解：令g（x）=f（x）-kx+k=0，
∴f（x）=k（x-1），令h（x）=k（x-1），
画出函数f（x），h（x）的图象，
如图示：直线y=k（x-1）经过定点（1，0），斜率为k．

当 0＜x＜1时，
∴$f'（x）=\frac{1}{x}＞1$，
当x≥1时，
∴$f'（x）=2-\frac{3}{x^2}∈（{-\frac{3}{2}，2}）$，
若函数g（x）=f（x）-kx+k的零点有2个，
则函数f（x）与h（x）=k（x-1）图象交点有两个，
∴1＜k≤2，
故答案为：1＜k≤2

点评 本题考查的知识点是函数的零点，导函数的几何意义，根的存在性及个数的判断，转化比较困难，属于中档题．