Question

（本小题满分12分）

已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、轴上的动点，且满足．若点满足．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）设过点任作一直线与点的轨迹交于、两点，直线、与直线 分别交于点、（为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）的值是定值，且定值为．

【解析】第一问中利用向量的数量积为0，也就是向量的垂直关系式得到由，得，然后设所求点的坐标的坐标为，由，有

代入，得，采用了消元的思想得到轨迹方程。

第二问中，设出直线方程，利用直线与抛物线联立方程组得到为定值。

解：（1）椭圆右焦点的坐标为，………………1分

．

，

由，得．                 …………………………2分

设点的坐标为，由，有，

代入，得．           …………………………4分

（2）（法一）设直线的方程为，．，

则，．                ………………………………5分

由，得， 同理得．…………………………7分

，，则．  ………8分

由，得，．   ……………………9分

则．           …………………………11分

因此，的值是定值，且定值为．         ………………………12分

    （法二）①当时， ．，则，   ．

由 得点的坐标为，则．

由 得点的坐标为，则．

．  ………………………………………6分

②当不垂直轴时，设直线的方程为，．，同解法一，得．  ……………8分

由，得，．……………………10分

则．           …………………………11分

因此，的值是定值，且定值为．        …………………………12分