Question

如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°.求证：平面ABC⊥平面BSC.

Answer 1

【探究】 本题可以用两种方法来证明，一是作平面的垂线而后证明它在另一个平面内(证法一)；二是在一个平面内找一条线段，证明它与另一个平面垂直(证法二).

证法一：作AD⊥平面BSC，D为垂足.

∵∠ASB=∠ASC=60°，SA=SB=SC，则AS=AB=AC，

∴D为△BSC的外心.又∠BSC=90°，

∴D为BC的中点，即AD在平面ABC内.

∴平面ABC⊥平面BSC.

证法二：取BC的中点D，连结AD、SD，易证AD⊥BC.又△ABS是正三角形，△BSC为等腰直角三角形，∴BD=SD.∴AD²+SD²=AD²+BD²=AB²=AS².

由勾股定理的逆定理，知AD⊥SD，∴AD⊥平面BSC.

又AD平面ABC，∴平面ABC⊥平面BSC.

【规律总结】 本题是证明面面垂直的典型例题，关键是将证明“面面垂直”的问题转化为证明“线面垂直”的问题.