Question

已知数列的前项和为，且，，数列满足，.

(1)求;         (2)求数列的前项和.

Answer 1

解：(1)由S_n＝2n²＋n，可得

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝(2n²＋n)－[2(n－1)²＋(n－1)]＝4n－1，

当n＝1时，a₁＝3符合上式，所以a_n＝4n－1(n∈N^*)．

由a_n＝4log₂b_n＋3，(4分) ;可得4n－1＝4log₂b_n＋3，解得b_n＝2^n－1(n∈N^*)．(6分)

(2)a_nb_n＝(4n－1)·2^n－1，

∴T_n＝3＋7×2¹＋11×2²＋15×2³＋…＋(4n－1)×2^n－1，①

2T_n＝3×2¹＋7×2²＋11×2³＋15×2⁴＋…＋(4n－1)×2ⁿ.②

①－②可得

－T_n＝3＋4(2¹＋2²＋2³＋2⁴＋…＋2^n－1)－(4n－1)×2ⁿ

＝3＋4×－(4n－1)×2ⁿ＝－5＋(5－4n)×2ⁿ，

∴T_n＝5＋(4n－5)×2ⁿ.(12分)