Question

已知a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，ccosA=b
（I）求角C的大小，
（II）求sinA+sinB的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用正弦定理化简已知的等式，再由三角形的内角和定理及诱导公式得到sinB=sin（A+C），代入化简后的等式，根据两角和与差的正弦函数公式化简，整理后得到sinAcosC=0，由A为三角形的内角，得到sinA不为0，可得cosC为0，进而利用特殊角的三角函数值可得C为直角；
（II）由C为直角，可得A与B互余，可得sinB=cosA，代入所求的式子中，提取

2

，利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据A为锐角，得到这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质可得此时正弦函数的值域，进而确定出所求式子的范围．

解答：解：（I）由正弦定理

c

sinC

=

b

sinB

=2R得：c=2RsinC，b=2RsinB，
∴ccosA=b变形为：2RsinCcosA=2RsinB，即sinCcosA=sinB，
又sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C），
∴sinCcosA=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
即sinAcosC=0，
又A和C为三角形的内角，
∴A≠0，即sinA≠0，
∴cosC=0，
则C=

π

2

；
（II）∵C=

π

2

，∴A+B=

π

2

，
∴B=

π

2

-A，
则sinA+sinB
=sinA+sin（

π

2

-A）
=sinA+cosA
=

2

sin（A+

π

4

），
∵A∈（0，

π

2

），∴A+

π

4

∈（

π

4

，

3π

4

），
∴sin（A+

π

4

）∈（

2

2

，1]，
则

2

sin（A+

π

4

）∈（1，

2

]，即sinA+sinB∈（1，

2

]．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，正弦函数的定义域和值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．