Question

（本小题满分13分）

已知函数为自然对数的底数）

   （1）求的单调区间，若有最值，请求出最值；

   （2）是否存在正常数，使的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）略

（2）故存在，使的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线，易求得公共点坐标为，公切线方程为

【解析】解：（1）……61分

    ①当恒成立

   上是增函数，F只有一个单调递增区间（0，-∞），没有最值…3分

    ②当时，，

    若，则上单调递减；

    若，则上单调递增，

    时，有极小值，也是最小值，

    即…………6分

    所以当时，的单调递减区间为

    单调递增区间为，最小值为，无最大值…………7分

   （2）方法一，若与的图象有且只有一个公共点，

    则方程有且只有一解，所以函数有且只有一个零点…………8分

    由（1）的结论可知…………10分

    此时，

   

    的图象的唯一公共点坐标为

    又

    的图象在点处有共同的切线，

    其方程为，即…………13分

    综上所述，存在，使的图象有且只有一个公共点，且在该点处的公切线方程为…………14分

    方法二：设图象的公共点坐标为，

    根据题意得

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    即

    由②得，代入①得

    从而…………10分

    此时由（1）可知

    时，

    因此除外，再没有其它，使…………13分

    故存在，使的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线，易求得公共点坐标为，公切线方程为…………14分