题目内容

已知函数f(x)=2
3
sinxcosx-2sin2x+1．
（Ⅰ）求f(
π
12
)的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，
π
2
]上的最大值和最小值．
分析：（Ⅰ）利用二倍角公式化简函数，代入计算，可求f(
π
12
)的值；
（Ⅱ）整体思维，得出角的范围，利用三角函数的性质，课求f（x）在区间[0，
π
2
]上的最大值和最小值．
解答：解：（Ⅰ）由f(x)=2
3
sinxcosx-2sin2x+1=
3
sin2xcosx+cos2x，得f(x)=2sin(2x+
π
6
)．
所以f(
π
12
)=2sin
π
3
=
3
．        …（8分）
（Ⅱ）因为0≤x≤
π
2
，所以
π
6
≤2x+
π
6
≤
5π
6
．
当2x+
π
6
=
π
2
，即x=
π
6
时，函数f（x）在区间[0，
π
2
]上的最大值为2．
当2x+
π
6
=
5π
6
，即x=
π
2
时，函数f（x）在[0，
π
2
]上的最小值为-1．…（13分）
点评：本题考查二倍角公式，考查三角函数的性质，考查学生的计算能力，正确化简函数是关键．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函数f（x）的对称中心；
（2）证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为减函数；
（3）是否存在负数x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，请说明理由．
已知函数f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，则f[f（-2）]=
3
3
．
已知函数f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函数f（x）的值域和最小正周期；
（2）当x∈[0，2π]时，求使f(x)=
3
成立的x的值．
已知函数f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的图象过点（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求证：f（x）在其定义域上有且只有一个零点；
（3）若f（x）+mx＞1对一切的正实数x均成立，求实数m的取值范围．
已知函数f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，则当x=
4π
3
4π
3
时，函数f（x）有最大值，最大值为
2
3
2
3
．

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