Question

【题目】已知椭圆的左、右顶点分别为，左焦点为，点为椭圆上任一点，若直线与的斜率之积为，且椭圆经过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若交直线于两点，过左焦点作以为直径的圆的切线.问切线长是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) 过左焦点作以为直径的圆的切线长为定值.过程见解析.

【解析】

（1）设点坐标,根据两点间斜率公式化简直线与的斜率之积得，再根据椭圆经过点得，解方程组可得（2）设为圆的一条切线，切点为，由切割线定理得，根据直线方程与椭圆方程联立方程组解得M,N坐标，代入化简可得.

（1）设点坐标为，由题意知，且

则

即①

又因为椭圆经过点.

故②

由①②可知，

故椭圆的标准方程为.

（2）可知设

由，得

所以直线的方程为，令，则，故

直线方程为，令，则，故

如图，因为，

故以为直径的圆在轴同侧.

设为圆的一条切线，切点为，连结

可知∽

故，则

故

故过左焦点作以为直径的圆的切线长为定值.