题目内容

设x∈R，向量 $数学公式$ ， $数学公式$ ，函数 $数学公式$ ．
（Ⅰ）在区间（0，π）内，求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若f（θ）=1，其中 $数学公式$ ，求 $数学公式$ ．

解：（Ⅰ）由条件可得函数 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +2sin²x-1= $\text{[math]}$ +1-cos2x-1
=2（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=2sin（2x- $\text{[math]}$ ），
令 2kπ+ $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，解得 kπ+ $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z．
再由x∈（0，π），可得 f（x）的单调递减区间（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），k∈z．
（Ⅱ）∵f（θ）=1，其中 $\text{[math]}$ ，
∴2sin（2θ- $\text{[math]}$ ）=1，sin（2θ- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
故2θ- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，θ= $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ =cos（ $\text{[math]}$ ）=cos $\text{[math]}$ =0．
分析：（Ⅰ）由条件可得函数f（x）=2sin（2x- $\text{[math]}$ ），令 2kπ+ $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，解得x的范围，再根据x∈（0，π），可确定f（x）的单调递减区间．
（Ⅱ）由 f（θ）=1，其中 $\text{[math]}$ ，求得sin（2θ- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，θ= $\text{[math]}$ ，再代入要求的式子化简得到结果．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性，两个向量数量积公式的应用，属于中档题．