Question

已知关于n的不等式2n²-n-3＜（5-λ）（n+1）2ⁿ对任意n∈N^*恒成立，则实数λ的取值范围是

λ＜

37

8

．

Answer 1

分析：根据不等式的基本性质，将原不等式转化为：5-λ＞

2n-3

2n

对任意n∈N^*恒成立，通过研究右边式子的单调性，可得当n=3时，右边的最大值为

3

8

，从而5-λ＞

3

8

，解之即得λ的取值范围．

解答：解：∵n∈N^*，∴n+1＞0
在不等式2n²-n-3＜（5-λ）（n+1）2ⁿ两边都除以n+1，得
2n-3＜（5-λ）2ⁿ对任意n∈N^*恒成立，即5-λ＞

2n-3

2n

设f（n）=

2n-3

2n

，可得
当n=1时，

2n-3

2n

=-

1

2

＜0
当n≥2时，

2n-3

2n

＞0，

f(n+1)

f(n)

=

2n-1

2n+1

•

2n

2 n-3

=

2n-1

4n-6

可得

f(3)

f(2)

=

3

2

＞1，

f(4)

f(3)

=

5

6

＜1，

f(5)

f(4)

=

7

10

＜1，…
由此可得，f（2）＜f（3），f（3）＞f（4），f（4）＞f（5），…
∴f（n）的最大值为f（3）=

3

8

，
要使原不等式对任意n∈N^*恒成立，必须5-λ＞

3

8

，解之得λ＜

37

8

故答案为：λ＜

37

8

点评：本题给出关于n的式子恒成立，求参数λ的取值范围，着重考查了不等式的基本性质、不等式恒成立和简单的演绎推理等知识，属于中档题．