Question

已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AE=

1

3

AC，BD=

1

3

AB，点F在BC上，且CF=

1

3

BC．求证：
（1）EF⊥BC；
（2）∠ADE=∠EBC．

Answer 1

分析：（1）设AB=3，以点A为坐标原点，以AB所在的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，建立直角坐标系，从而可得到E，F，B，C的坐标，利用向量的数量积即可证得EF⊥BC；
（2）利用

DE

•

DA

与

BE

•

BC

数量积中的夹角的余弦即可证得∠ADE=∠EBC．

解答：解：（1）设AB=3，以点A为坐标原点，以AB所在的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，建立直角坐标系，
则E（0，1），F（1，2），B（3，0），C（0，3），
∴

EF

=（1，1），

BC

=（-3，3）
∵

EF

•

BC

=-3+3=0，
∴EF⊥BC；
（2）∵D（2，0），A（0，0），
∴

DE

=（-2，1），

DA

=（-2，0），
∴|

DE

|=

5

，|

DA

|=2，又

DE

•

DA

=4，
∴cos＜

DE

，

DA

＞=

DE • DA

| DE || DA |

=

4

2 5

=

2 5

5

，
同理可求cos＜

BE

，

BC

＞=

2 5

5

，
∴＜

DE

，

DA

＞=＜

BE

，

BC

＞，
∴∠ADE=∠EBC．

点评：本题考查数量积表示两个向量的夹角，考查建立坐标系利用数量积判断两个平面向量的垂直关系，属于中档题．