Question

设m＞2，给定数列{x _n }，其中x ₁=m，x_n+1=

xn2

2(xn-1)

（n∈N₊），求证：x _n＞2且

xn+1

xn

＜1．

Answer 1

分析：x _n＞2且

xn+1

xn

＜1等价于证明2＜x_n+1＜x_n．结合题设条件x ₁=m＞2，x_n+1=

xn2

2(xn-1)

（n∈N₊），利用数学归纳法进行证明．

解答：解：x _n＞2且

xn+1

xn

＜1等价于证明2＜x_n+1＜x_n．
下面用数学归纳法进行证明：
①当n=1时，
∵x2=

x12

2(x1-1)

=x1+

(2-x1)x1

2(x1-1)

，
x2=

x12

2(x1-1)

=

4(x1-1)+x12 -4x1+4

2(x1-1)

=2+

(x1-2)2

2(x1-1)

，x₁=m＞2，
∴2＜x₂＜x₁．
结论成立．
②假设n=k时，结论成立，即2＜x_k+1＜x_k（k∈N⁺），
则xk+2=

xk+12

2(xk+1-1)

=xk+1+

(2-xk+1)xk+1

2(xk+1-1)

＞x_k+1，
xk+2=

xk+12

2(xk+1-1)

=2+

(xk+1-2)2

2(xk+1-1)

＞2．
∴2＜x_k+2＜x_k+1，
综上所述，由①②知2＜x_n+1＜x_n．
∴x _n＞2且

xn+1

xn

＜1．

点评：本题考查数列与不等式的综合应用，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，注意数学归纳法的合理运用．