Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+c（x∈R）的图象与直线15x-y+10=0相切于点（-1，-5），且函数f（x）在x=4处取得极值．
（1）求f（x）的解析式；   （2）求f（x）的极值．

Answer 1

.（1）求出导函数得：f′（x）=3ax²+2bx，
由题意可知：

f′(-1)=15 f(-1)=-5 f′(4)=0

，即

3a-2b=15 -a+b+c=-5 48a+8b=0

，
解得：

a=1 b=-6 c=2

，∴f（x）=x³-6x²+2；
（2）把a=1，b=-6代入导函数得：f′（x）=3x²-12x，
由f′（x）=0，解得x=0或x=4，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，4）	4	（4，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值2	↓	极小值-30	↑

∴当x=0时，f（x）取得极大值2，当x=4时，f（x）取得极小值-30．