题目内容
函数f（x）=x2+|x-a|+1，x∈R.（1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）求f（x）的最小值.
解析：解决此题的关键应寻求对字母a讨论的标准.讨论f（x）的奇偶性，就需要找f（x）、f（-x）的关系.从而发现要对a是否为零展开讨论.（2）求f（x）的最小值，由绝对值的定义展开对a的讨论，分x≤a，x≥a.
解：（1）∵f（x）=x2+|x-a|+1，
∴f（-x）=x2+|x+a|+1.
∴a=0时，f（x）=f（-x）.此时f（x）为偶函数.
a≠0时，f（x）≠f（-x）且f（x）+f（-x）=2（x2+1）+|x-a|+|x+a|≠0.
∴f（x）既不是奇函数，也不是偶函数.
（2）①当x≤a时，函数f（x）=x2-x+a+1=（x-
）2+a+
.
若a≤
，则函数f（x）在（-∞，a］上单调递减，从而函数f（x）在（-∞，a］上的最小值为f（a）=a2+1；
若a＞
，则函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f（
）=
+a，且f（-
）≤f（a）.
②当x≥a，函数f（x）=x2+x-a+1=（x+
）2-a+
；
若a≤-
，则函数f（x）在［a，+∞］上的最小值为f（-
）=
-a，且f（-
）≤f（a）.
若a＞-
，则函数f（x）在［a，+∞）上单调递增，从而，函数f（x）在［a，+∞）上的最小值f（a）=a2+1.
综上，若a≤-
，则f（x）min=
-a.
若-
＜a≤
，则f（x）min=a2+1.
若a＞
，则f（x）min=a+
.
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