Question

已知函数f(x)=x-

2

x

+a(2-lnx)，其中a≠0，讨论函数f（x）在定义域内的单调性．

Answer 1

分析：先求出函数的导函数，再通过讨论a的取值结合导函数值的正负即可得到函数的单调性．

解答：解：f′(x)=

x2-ax+2

x2

=

1

x

(x+

2

x

-a)，x＞0．
当a≤2

2

时，x+

2

x

≥2

2

≥a，
∴f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上递增．
当a＞2

2

时，解f′（x）=0得x1=

a- a2-8

2

，x2=

a+ a2-8

2

当0＜x＜x₁或x＞x₂时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，x₁]，[x₂，+∞）上递增；
当x₁＜x＜x₂时，f′（x）＜0，
∴f（x）在[x₁，x₂]上递减．
综上，当a≤2

2

时，f（x）在（0，+∞）上递增；
当a＞2

2

时，f（x）在(0，

a- a2-8

2

]，[

a+ a2-8

2

，+∞)上递增，
在[

a- a2-8

2

，

a+ a2-8

2

]上递减．

点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．