题目内容
给出下列四个命题：
①若函数f（x）=a（x3-x）在区间（-
，
）为减函数，则a＞0；
②函数f（x）=lg（ax+1）的定义域是{x|x＞-
}；
③当x＞0且x≠1时，有lnx+
≥2；
④函数y=x2，y=(
)x，y=x5+1，y=x，y=ax(a＞1)中，幂函数有2个．
所有正确命题的个数是（ ）
①若函数f（x）=a（x3-x）在区间（-
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
②函数f（x）=lg（ax+1）的定义域是{x|x＞-
| 1 |
| a |
③当x＞0且x≠1时，有lnx+
| 1 |
| lnx |
④函数y=x2，y=(
| 1 |
| 2 |
所有正确命题的个数是（ ）
| A、1 | B、2 | C、3 | D、4 |
分析：对于①若函数f（x）=a（x3-x）在区间（-
，
）为减函数，则f′（x）＜0在区间（-
，
）上恒成立，即可求得a的范围；对于②当a＞0时，函数f（x）=lg（ax+1）的定义域是{x|x＞-
}；对于③当x＞0且x≠1时，因lnx不一定大于0，故不一定有lnx+
≥2；对于④函数中，幂函数有y=x2，y=x，共2个．
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| lnx |
解答：解：①若函数f（x）=a（x3-x）在区间（-
，
）为减函数，则f′（x）＜0在区间（-
，
）上恒成立，即：a（3x2-1）＜0⇒a＞0；故①正确；
②当a＞0时，函数f（x）=lg（ax+1）的定义域是{x|x＞-
}；故其错；
③当x＞0且x≠1时，因lnx不一定大于0，故不一定有lnx+
≥2；故③错；
④函数y=x2，y=(
)x，y=x5+1，y=x，y=ax(a＞1)中，幂函数有y=x2，y=x，共2个．故其正确．
所有正确命题的个数是2．
故选B．
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
②当a＞0时，函数f（x）=lg（ax+1）的定义域是{x|x＞-
| 1 |
| a |
③当x＞0且x≠1时，因lnx不一定大于0，故不一定有lnx+
| 1 |
| lnx |
④函数y=x2，y=(
| 1 |
| 2 |
所有正确命题的个数是2．
故选B．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数恒成立问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．
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