题目内容

设f（x）=
1
x
，x＞0
x2，x≤0
，则不等式f（x）＞1的解集为（　　）
A、（-∞，-1）∪（0，1）
B、（-1，1）
C、（-1，0）∪（0，1）
D、（1，+∞）
分析：分两种情况：当x大于0时，f（x）=
1
x
，把f（x）代入到不等式中得到关于x的不等式，求出不等式的解集与x大于0取交集即可得到满足条件的x的范围；当x小于等于0时，f（x）=x2，把f（x）代入到不等式中得到关于x的不等式，求出不等式的解集与a小于等于0取交集即可得到满足条件的x的范围．
解答：解：当x＞0，由
1
x
＞1?0＜x＜1；
当x≤0，由x2＞1?x＜-1，x＞1（舍去）
所以不等式的解集为：（-∞，-1）∪（0，1）．
故选A
点评：此题考查了其他不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，是一道综合题．
练习册系列答案
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设函数g(x)=
x
+1，函数h(x)=
1
x+3
，x∈(-3，a]，其中a为常数且a＞0，令函数f（x）=g（x）•h（x）．
（1）求函数f（x）的表达式，并求其定义域；
（2）当a=
1
4
时，求函数f（x）的值域；
（3）是否存在自然数a，使得函数f（x）的值域恰为[
1
3
，
1
2
]？若存在，试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合；若不存在，试说明理由．
设f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（t-x），a＞0且a≠1，且F（x）=f（x）-g（x）是奇函数．
（1）若a=2，解关于x的不等式f(x)-1＞loga
x-1x-2

（2）判断F（x）的单调性，并证明．
设f（x）是定义在（0，+∞）的可导函数，且不恒为0，记gn（x）=
f(x)
n
(n∈N*)．若对定义域内的每一个x，总有gn（x）＜0，则称f（x）为“n阶负函数”；若对定义域内的每一个x，总有[gn(x)]′≥0，则称f（x）为“n阶不减函数”（[gn(x)]′为函数gn（x）的导函数）．
（1）若f（x）=
a
x3
-
1
x
-x（x＞0）既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数a的取值范围；
（2）对任给的“n阶不减函数”f（x），如果存在常数c，使得f（x）＜c恒成立，试判断f（x）是否为“n阶负函数”？并说明理由．
设f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（t-x），a＞0且a≠1，且F（x）=f（x）-g（x）是奇函数．
（1）若a=2，解关于x的不等式f(x)-1＞loga
x-1
x-2

（2）判断F（x）的单调性，并证明．

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