Question

（2012•黄州区模拟）已知向量

m

=（cos

x

2

，-1），

n

=（

3

sin

x

2

，cos²

x

2

），设函数f（x）=

m

•

n

+

1

2

．
（1）若x∈[0，

π

2

]，f（x）=

3

3

，求cosx的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2bcosA≤2c-

3

a，求f（B）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）依题意得f（x）=

m

•

n

+

1

2

=sin（x-

π

6

）=

3

3

，由 x∈[0，

π

2

]，sin（x-

π

6

）=

3

3

＞0，cos（x-

π

6

）=

6

3

，由cosx=cos[（x-

π

6

）+

π

6

]利用两角和的余弦公式求得结果．
（2）由2bcosA≤2c-

3

a 得：cosB≥

3

2

，从而 0＜B≤

π

6

，由此求得f（B）=sin（B-

π

6

）的取值范围．

解答：解：（1）依题意得f（x）=

m

•

n

+

1

2

=

3

sin

x

2

 cos

x

2

-cos²

x

2

+

1

2

=

3

2

sinx-

1+cosx

2

+

1

2

=sin（x-

π

6

），…（2分）
由 x∈[0，

π

2

]，得：-

π

6

≤x-

π

6

≤

π

3

，sin（x-

π

6

）=

3

3

＞0，
从而可得 cos（x-

π

6

）=

6

3

，…（4分）
则cosx=cos[（x-

π

6

）+

π

6

]=cos（x-

π

6

） sin

π

6

-sin（x-

π

6

） cos

π

6

=

2

2

-

3

6

． …（6分）
（2）在△ABC中，由2bcosA≤2c-

3

a 得 2sinBcosA≤2sin（A+B）-

3

 sinA，即 2sinAcosB≥

3

sinA，
由于sinA＞0，故有cosB≥

3

2

，从而 0＜B≤

π

6

，…（10分）
故f（B）=sin（B-

π

6

），由于 0＜B≤

π

6

，∴-

π

6

＜B-

π

6

≤0，∴sin（B-

π

6

）∈（-

1

2

，0]，即f（B）∈（-

1

2

，0]．　…（12分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两角和的余弦公式，两个向量的数量积公式的应用，属于中档题．