Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=n²a_n（n∈N^*），可归纳猜想出S_n的表达式为（　　）

• A．

  2n

  n+1

• B．

  3n-1

  n+1

• C．

  2n+1

  n+2

• D．

  2n

  n+2

Answer 1

分析：数列{a_n}中，前n项和为S_n，由a₁=1，S_n=n²a_n（n∈N^*），可得s₁；由s₂可得a₂的值，从而得s₂；同理可得s₃，s₄；
可以猜想：s_n=

2n

n+1

，本题不需要证明．．

解答：解：在数列{a_n}中，前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=n²a_n（n∈N^*），
∴s₁=a₁=1=

2×1

1+1

；s₂=1+a₂=4a₂，∴a₂=

1

3

，s₂=

4

3

=

2×2

2+1

；
s₃=1+

1

3

+a₃=9a₃，∴a₃=

1

6

，s₃=

3

2

=

2×3

3+1

；s₄=1+

1

3

+

1

6

+a₄=16a₄，∴a₄=

1

10

，s₄=

8

5

=

2×4

4+1

；
…于是猜想：s_n=

2n

n+1

．
故选A．

点评：本题考查了用递推公式，通过归纳推理，求数列的前n项和为S_n，需要有一定的计算能力和归纳猜想能力．