Question

已知定义在R上的函数f（x）满足f（1）=2，f′（x）＜1，则不等式f（x²）＜x²+1的解集为

{x|x＜-1，或x＞1}

．

Answer 1

分析：依题意，构造函数g（x）=f（x）-x，可求得g′（x）＜0，且g（1）=1，f（x²）＜x²+1?g（x²）＜1=g（1），从而可求得答案．

解答：解：令g（x）=f（x）-x，
因为f′（x）＜1，
所以f′（x）-1＜0，即g′（x）＜0，
所以函数g（x）在R上单调递减，且g（1）=f（1）-1=1．
由f（x²）＜x²+1，即f（x²）-x²＜1，
即g（x²）＜1．
则g（x²）＜g（1），
所以x²＞1，得x＜-1，或x＞1．
∴不等式f（x²）＜x²+1的解集为{x|x＜-1，或x＞1}．
故答案为：{x|x＜-1，或x＞1}．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数g（x）=f（x）-x，并判断函数g（x）在R上单调递减是关键，属于中档题．