题目内容

各项都为正数的数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1²-a_n²=2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列 $数学公式$ 的前n项和．

解：（Ⅰ）∵a_n+1²-a_n²=2，∴{a_n²}为首项是1，公差为2的等差数列，…（2分）
∴a_n²=1+（n-1）×2=2n-1，又a_n＞0，则 $\text{[math]}$ ．…（5分）
（Ⅱ）因为 $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．…（8分）
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …（10分）
= $\text{[math]}$ ）．…（12分）
分析：（1）由等差数列的定义可判断数列a_n²为等差数列，a_n²可求，可求得a_n；
（2）由（1）可求得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分母有理化后求和即可．
点评：本题考差数列求和，解决的关键是 $\text{[math]}$ 分母有理化，属于中档题．

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各项都为正数的数列{a_n}，满足a₁=1，a_n+1²-a_n²=2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明

对一切n∈N⁺恒成立．

已知{a_n}是各项都为正数的数列，其前n项和为S_n，且满足2a_nS_n-a_n²=1．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）证明{S_n²}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）求数列{

}的前n项和．

（理科）已知各项都为正数的数列{a_n}满足a₁=1，S_n=

a_na_n+1（n∈N⁺），其中Sn是数列{a_n}的前n项的和．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）已知p（≥2）是给定的某个正整数，数列{b_n}满足b_n=1，

（k=1，2，3…，p-1），求b_k；
（3）化简b₁+b₂+b₃+…+b_p．

（2009•重庆模拟）已知{a_n}是各项都为正数的数列，S_n为其前n项的和，且a₁=1，S_n=

)．
（I）分别求S₂²，S₃²的值；
（II）求数列{a_n}的通项a_n；
（III）求证：

各项都为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，已知2(Sn+1)=an2+an．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1=2b_n，数列{c_n}满足cn=

an	(n为奇数)
bn	(n为偶数)

，数列{c_n}的前n项和为T_n，当n为偶数时，求T_n；
（Ⅲ）同学甲利用第（Ⅱ）问中的T_n设计了一个程序如图，但同学乙认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束）．你是否同意同学乙的观点？请说明理由．