题目内容

各项都为正数的数列{an}的前n项和为Sn,已知2(Sn+1)=an2+an
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{bn}满足b1=2,bn+1=2bn,数列{cn}满足cn=
an(n为奇数)
bn(n为偶数)
,数列{cn}的前n项和为Tn,当n为偶数时,求Tn
(Ⅲ)同学甲利用第(Ⅱ)问中的Tn设计了一个程序如图,但同学乙认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”(即程序会永远循环下去,而无法结束).你是否同意同学乙的观点?请说明理由.
分析:(I)由题意及2(Sn+1)=an2+an(n∈N*),令n=1,求得数列的首项,再利用已知数列的前n项和与通项之间的关系,即可求出数列的通项;
(II)数列{bn}满足b1=2,bn+1=2bn(n∈N*),可以求出数列bn的通项公式,再有数列{cn}满足cn=
an,n=2k-1
bn,n=2k
(k∈N*)
,利用分组求和求出数列cn的前n项的和;
(III)由题意及(2)可知n为偶数,即dn=Tn-Pn=
4
3
2n-
47
2
n-
4
3
,由于dn+2-dn=2n+2-47分析该式即可.
解答:解:(Ⅰ)当n=1时,由2(S1+1)=a12+a1,解得a1=2,
当n≥2时,由2(Sn+1)=an2+an,得2(Sn-1+1)=an-12+an-1
两式相减,并利用an=Sn-Sn-1,求得an-an-1=1.
∴数列{an}是首项为2,公差为1的等差数列.∴an=n+1(n∈N*).
(Ⅱ)∵{bn}是首项为2,公比为2的等比数列,∴bn=2n
当n为偶数时,Tn=(a1+a3+…+an-1)+(22+24+…+2n)=
a1+an-1
2
n
2
+
4(1-2n)
1-4
=
n2+2n
4
+
4
3
(2n-1)

(Ⅲ)∵Pn=
n2
4
+24n
(n为偶数),设dn=Tn-Pn=
4
3
2n-
47
2
n-
4
3
(n为偶数),
∴d4<d6<d8<d10<2007<d12<d14<….且d2<2007,(利用数列的单调性或函数的单调性判断)
∴dn≠2007,即Tn-Pn≠2007(n为偶数).
因此同学乙的观点正确.
点评:此题以程序图为载体考查数列的性质和应用,考查了已知数列的前n项和求数列的通项,等比数列的定义及通项公式,还考查了学生分类讨论的思想.解题时要认真审题,仔细解答.
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