Question

（07年湖南卷文）（13分）

已知函数在区间内各有一个极值点.

（Ⅰ）求的最大值；

　（Ⅱ）当时，设函数在点处的切线为，若在点A处穿过的图象（即动点在点A附近沿曲线运动，经过点A时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式.

Answer 1

解析：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，

设两实根为（），则，且．于是

，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．

（II）解法一：由知在点处的切线的方程是

，即，

因为切线在点处穿过的图象，

所以在两边附近的函数值异号，则

不是的极值点．

而，且

．

若，则和都是的极值点．

所以，即．又由，得．故．

解法二：同解法一得

．

因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号．于是存在（）．

当时，，当时，；

或当时，，当时，．

设，则

当时，，当时，；

或当时，，当时，．

由知是的一个极值点，则．

所以．又由，得，故．