Question

如图,已知直三棱柱ABC—A₁B₁C₁的侧棱AA₁=4 cm,它的底面ABC中有AC=BC=2 cm,∠ACB=90°,E是AB的中点.

(1)求证:CE⊥AB₁;

(2)求C到AB₁的距离;

(3)求二面角C—AB₁—B的余弦值.

Answer 1

(1)证明:∵AC=BC,∠ACB=90°,E为AB中点,

∴CE⊥AB.

    又直棱柱侧面A₁B⊥底面ABC,∴CE⊥侧面A₁B.

    而AB₁面A₁B,∴CE⊥AB₁.

(2)解:过E作EF⊥AB₁于F,连结CF,则CF⊥AB₁.

    由,得EF=,又CE=AB=,

∴CF=.

∴C到AB₁的距离为.

(3)解:由(2)知∠CFE为二面角C—AB₁—B的平面角.

∴cosCFE=.